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On considère les suites de nombres complexes de la forme zn+1=zn2+c où le paramètre c est un nombre complexe choisi arbitrairement.
On étudie la divergence de la suite (zn) suivant la valeur qu'on prend pour z0.
Autrement dit, on cherche à savoir si les valeurs de zn restent bornées ou au contraire s'en vont vers l'infini.
En prenant l'affixe de chaque point de l'image comme valeur de z0, on obtient autant de suites différentes.
Certaines divergent, d'autres pas. L'ensemble de Julia est la frontière entre l'ensemble des points pour lesquels la suite diverge et l'ensemble des points pour lesquels la suite reste bornée.
Il n'existe pas de critère mathématique permettant de prévoir dans tous les cas de figure si la suite va diverger.
Mais on a démontré que si on trouve un rang p tel que |zp|>2 alors la suite est à coup sûr divergente.
Ici, on choisit successivement l'affixe de chaque point de l'image comme valeur de z0 et on calcule itérativement les valeurs de zn correspondantes.
Dès qu'on trouve un rang p pour lequel |zp|>2 on arrête l'itération car on est sûr que la suite diverge. On colorie alors le point en fonction de la valeur du rang p trouvé.
Si au bout d'un grand nombre d'itérations on n'a toujours pas trouvé de rang p pour lequel |zp|>2 on arrête l'itération et on conjecture que la suite ne diverge pas. On laisse alors le point en noir.
On obtient ce qu'on appelle une fractale, une image où le même motif se répète indéfiniment à différentes échelles.
C'est un objet chaotique : en passant d'un point à un point voisin, on peut avoir des résultats complètement différents, de manière très difficile à prévoir. Une infime variation des conditions initiales peut entraîner des comportements très différents.
En cliquant dans l'image, vous pouvez déplacer le centre de celle-ci.
En cliquant dans l'image avec la touche alt enfoncée, vous pouvez changer la valeur du paramètre c.
Avec la molette de la souris, vous pouvez agrandir ou réduire l'image.